针对您提到的交通事故中对方老年代步车没有保险且不理赔的情况，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，您确实有权申请财产保全。由于对方没有保险，为保障您的合法权益，防止对方转移或隐匿财产，您可以向法院提出申请，要求法院对对方车辆或其他财产采取保全措施。同时，建议您保存好相关证据，如事故现场照片、医疗证明等，以便在后续的民事诉讼中使用。
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如果对方老年代步车没有驾驶证，这可能会影响索赔的流程。首先，您应确保事故责任认定清晰，无驾驶证驾驶是违法行为，对方可能需承担全部或主要责任。其次，在索赔时，除了常规的民事诉讼途径外，您还可以考虑向交警部门举报对方无证驾驶，这可能有助于加快事故处理和责任认定的进程。最后，根据事故责任认定结果，向对方或其家属提出合理的赔偿要求。
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从法律角度，处理这起交通事故的赔偿问题，您应首先确保自身安全，并尽快报警、收集证据。其次，根据事故责任认定结果，向对方提出赔偿要求。若对方拒绝赔偿或无能力赔偿，您可以考虑向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿医疗费、误工费等相关费用。同时，由于对方车辆无保险，您还可以考虑申请财产保全，以保障您的合法权益。