若要起诉对方追讨剩余的1万多合同款，你需要准备充分的证据来支持你的诉求。根据《中华人民共和国民事诉讼法》第六十六条，证据包括当事人的陈述、书证、物证、视听资料、电子数据、证人证言、鉴定意见、勘验笔录等。你可以准备如工程完成情况的证明材料、双方沟通记录显示对方承认欠款的证据、工程验收报告等。若对方曾支付过部分款项，相关的转账记录也可作为辅助证据。准备好这些后，可通过法律途径维护自身权益。
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若双方愿意调解，可通过以下方式：首先，双方可直接进行协商，寻求一个都能接受的解决方案；其次，可邀请第三方如人民调解委员会介入调解，根据《人民调解法》，人民调解委员会可依法调解民间纠纷，促使当事人达成调解协议；最后，调解成功后应签订书面调解协议，明确双方权利义务，确保调解结果的有效执行。
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在仲裁或诉讼中，你有权要求对方支付逾期利息。根据《中华人民共和国合同法》及相关司法解释，若对方未按约定时间支付款项，构成违约，你可以要求对方承担违约责任，包括支付逾期利息。具体利率可参照中国人民银行发布的同期贷款利率或相关法律规定，确保你的合法权益得到充分保障。